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(* example Mathematica code *)

(* Dualisiert wird anhand einer Polarität an einer

   Quadrik $x^t Q x = 0$ mit regulärer Matrix $Q$ (also

   mit $det(Q) \neq 0$), z.B. die Identitätsmatrix.

   $p$ ist eine Liste von Polynomen - ein Ideal. *)

dualize::"singular" = "Q must be regular: found Det[Q]==0.";

dualize[ Q_, p_ ] := Block[

    { m, n, xv, lv, uv, vars, polys, dual },

    If[Det[Q] == 0,

      Message[dualize::"singular"],

      m = Length[p];

      n = Length[Q] - 1;

      xv = Table[Subscript[x, i], {i, 0, n}];

      lv = Table[Subscript[l, i], {i, 1, m}];

      uv = Table[Subscript[u, i], {i, 0, n}];

      (* Konstruiere Ideal polys. *)

      If[m == 0,

        polys = Q.uv,

        polys = Join[p, Q.uv - Transpose[Outer[D, p, xv]].lv]

        ];

      (* Eliminiere die ersten n + 1 + m Variablen xv und lv

         aus dem Ideal polys. *)

      vars = Join[xv, lv];

      dual = GroebnerBasis[polys, uv, vars];

      (* Ersetze u mit x im Ergebnis. *)

      ReplaceAll[dual, Rule[u, x]]

      ]

    ]

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